环形跑道问题|小学数学常见行程问题

在前天我们在《路程和与路程差问题|小学数学常见行程问题（1）》中介绍了小学阶段第一种常见的行程问题，这篇文章继续介绍第二种常见的行程问题-环形跑道问题。

　　环形跑道问题这种类型的题目不在我们常见的直线上进行分析。而是在以“环形跑道”为代表的封闭图形上分析行程问题，当然，这里的环形可以拓展变成三角形、长方形或正方形等封闭图形。

　　解决环形跑道问题的关键在于示意图，许多条件需要结合示意图才能明白意思。我们可以根据“6要素”作图，下面老师将环形跑道的知识点结合作图与同学分享。

　　1、同一地点出发

　　我们在同一地点出发的基础上再根据运动方向可分为：同向和反向。

　　A.同向

　　如果出发地相同，若“同向”，快车从一开始就将会领先与慢车，直到快车比慢车多跑一圈时，他们才会产生出发后的第一次相遇。此时他们路程间的等量关系式为：

　　一个周长=快车的路程-慢车的路程。

　　在相遇点再次出发，则又重复一开始的“同时同地同向而行”，唯一不同的是再次相遇地点不同罢了（出发地点不同）。所以从第一次相遇到第二次相遇快车依然要比慢车多跑一圈。第二次相遇时快车需要比慢车多跑了两个周长。

　　这样一直下去，我们可以得到一个等量关系式：

　　“快慢车的路程差=周长的n倍（n为相遇的次数）”。

　　B.反向

　　如果出发地相同，若“反向”当快车与慢车相遇时，快车与慢车正好共行完一个周长。此时他们路程间的等量关系式为：

　　一个周长=快车的路程+慢车的路程。

　　模仿“同向”的思路，将相遇点当作再次出发的起点。

　　一直重复下去，我们可以推得一个等量关系式：

　　“快慢车的路程和=周长的n倍（n为相遇的次数）”。

　　2、不同地点出发

　　如果出发点不同，则需要通过观察示意图再进行判断。但是这一个不同也仅仅是在分析第一次相遇时有所区别。一旦相遇后，后面的过程则又可以视作同一地点出发。

　　在环形跑道问题中，我们最好用不同颜色的笔画出各自行进的轨迹。

　　1.同一地点出发

　　例1：绕湖环行一周是2700米，小张、小王、小李从同一地点出发绕湖行走，小张与小王同向，小李沿他们的反方向行走。小张的速度是135米/分，小王的速度是90米/分，小李的速度是45米/分。当小张和小李相遇后，小张马上转身反向而行，不久于小王相遇，问出发后多少分钟小张与小王相遇？

　　画出示意图

　　分析：

　　先算出小张与小李的相遇时间：

　　2700÷（135+45）=15（分钟）

　　此刻小张与小王的路程差：

　　（135-90）×15=675（米）

　　张、王的路程差就是转身后他们的路程和：

　　675÷（135+90）=3（分钟）

　　3+15=18（分钟）

　　答：出发18分钟后小张与小王相遇。

　　例2：一个运动场的环形跑道，周长500米，甲、乙两人同时同地出发，如果相背而行，5分钟相遇一次，如果同向而行，50分钟相遇一次，甲比乙走得快，问甲、乙两人每分钟各走多少米？

　　认真审题，并画出示意图

　　分析：

　　从示意图我们可以看出：

　　背向：路程和=1个周长。

　　同向：路程差=1个周长。

　　在借由路程和与路程差的公式得到

　　速度和：500÷5=100（米/分）

　　速度差：500÷50=10（米/分）

　　在借由和差问题的公式

　　较大数=（和+差）÷2

　　较小数=（和-差）÷2

　　题中已告知甲比乙走快，所以

　　甲的速度： （100+10）÷2=55（米/分）

　　乙的速度： （100-10）÷2=45（米/分）

　　答：甲每分钟走55米，乙每分钟走45米。

　　B.不同地点出发

　　例1：小丁丁和小胖在周长400米的环形跑道上练习竞走。已知小胖平均每分钟走60米，小丁丁平均每分钟走75米，小丁丁在小胖前面100米处，多少分钟后小丁丁可以追上小胖？

　　示意图

　　分析：

　　从图中可以看到两人的实际的路程差要加上100米才是一个周长。

　　（400-100）÷（75-60）=20（分钟）

　　答：20分钟后小丁丁可以追上小胖。

　　最后我们来总结一下本期我们讲述的重点知识：

　　1、环形跑道问题按出发地点分可分为：

　　相同地点出发与不同地点出发

　　2、同一地点出发，我们会得到一个数量关系：

　　快慢车的路程差=周长的n倍（n为相遇的次数）

　　反向我们会得到另外一个数量关系：

　　快慢车的路程和=周长的n倍（n为相遇的次数）

　　3、环形跑道问题的关键是通过示意图理解题目意思。